Formelsammlung

Elektrotechnik

Impressum

Diese Formelsammlung basiert auf Aufzeichnungen und Skitzen seit meinen Tagen auf der Berufsoberschule.

Zum Dateiformat dieser Formelsammlung Diese Formelsammlung wurde mit RISC OS erstellt. RISC OS ist ein sehr schnelles, in Assembler geschriebenes Betriebssystem für die moderne, stromsparende ARM-Prozessorarchitektur (ARM: Advanched RISC Machine). Es verfügt über eine außergewöhnlich intuitive Benutzeroberfläche mit der ungewöhnlichen Drag & Drop-Technik. RISC OS ist Open Source (http://www.riscosopen.co.uk) und läuft u. a. auf dem Beagle-Board.

Für den Satz wurde TechWriter (http://www.mw-software.com) verwendet. TechWriter verfügt über ein eigenes Format, kann jedoch auch TeX (ohne Bilder) erzeugen. Die Zeichnungen sind vektoriell und wurden mit ProCAD(+) (http://

www.zynet.co.uk/dsnell) sowie ArtWorks 2 (http://www.mw-software.com) erstellt. Das endgültige Dokument in Adobe's portablen Dokument Format (PDF) wurde mit einem PostScript 2 / 3 Druckertreiber, GhostScript und PrintPDF (http://

www.steveryatt.org.uk/software/) erzeugt.

Haftung

Alle Angaben in dieser Formelsammlung sind ohne Gewähr. Für die Richtigkeit der Inhalte wird nicht garantiert. Für Schäden, welche aus einer Anwendung dieser Formelsammlung entstanden sind, wird nicht gehaftet.

Rückmeldungen sind erwünscht.

Juli 2011

Alexander Ausserstorfer,

E-Mail: bavariasound [at] chiemgau - net . de Web: http://home.chiemgau-net.de/ausserstorfer/

I Grundlagen

Größen

10-1

Dezi

d

101

Deka

da

10-2

Zenti

c

102

Hekto

h

10-3

Milli

m

103

Kilo

k

10-6

Mikro

µ

106

Mega

M

10-9

Nano

n

109

Giga

G

10-12

Piko

p

1212

Tera

T

10-15

Femto

f

1015

Peta

p

10-18

Atto

a

1018

Exa

E

(Auszug aus DIN 1301−1 von Dez 1993)

In der Formelsammlung

f

Frequenz

Hertz

1 s

verwendete Formelzeichen und i sich zeitlich veränder-Ampere

A

Größen

licher Strom

(nach DIN 1304-1 von März 1994)

î

Spitzenwert eines sich

Ampere

A

zeitlich veränderlichen

Stromes

k

Kopplungsgrad

-

1

p

spezifischer Widerstand

Ω m

Vm

A

p

Augenblicksleistung

Watt

VA

u

sich zeitlich veränder-

Volt

V

liche Spannung

û

Spitzenwert einer sich

Volt

V

zeitlich veränderlichen

Spannung

ü

Übersetzungsverhältnis

-

1

v

Geschwindigkeit

-

m

s 2

w

Energiedichte

J

VAs

m 3

m 3

A

Fläche

-

m 2

B

Blindwiderstand,

Siemens

A

V

Reaktanz

B

magnetische Flussdichte

Tesla

Vs

m 2

C

Kapazität

Farad

As

V

D

Elektrische Flussdichte

-

As

m 2

E

Elektrische Feldstärke

-

V

m

F

Kraft

Newt

on

kg ⋅ m

s 2

F

Formfaktor

-

1

G

Wirkleitwert,

Siemens

A

V

Konduktanz

H

Magnetische Feldstärke

-

A

m

I

Strom

Ampere

A

J

Elektrische Stromdichte

-

A

m 2

L

Induktivität

Henry

Vs

A

I Grundlagen

2

M

Dipolmoment

N

Windungszahl

-

1

P

Wirkleistung

Watt

VA

Q

Blindleistung

var

VA

Q

Ladung

Coloumb

As

R

Elektrischer Widerstand

Ω

V

A

R

A

m

Magnetischer Widerstand

-

Vs

S

Scheinleistung

VA

VA

T

Periodendauer

-

s

U

Spannung

Volt

V

Vm

Magnetische Spannung

-

A

W

Arbeit, Energie

Joule,

VA ,

s

Wattsekunde. kgm 2

s 2

Newtonmeter

X

Blindwiderstand

Ω

V

A

Y

Komplexer Leitwert,

Siemens

A

V

Admittanz

Z

Komplexer Widerstand,

Ω

V

A

Impedanz

ε

Permittivität

F

As

m

Vm

η

Wirkungsgrad

-

1

ϕ

elektrisches Potential

Volt

V

µ

Permeabilität

H

Vs

m

Am

κ

elektrische Leitfähigkeit

S

A

m

Vm

σ

Scheitelfaktor

-

1

ω

Kreisfrequenz

-

1 s

ψ

elektrischer Fluss

-

As

Φ

magnetischer Fluss

Weber

Vs

Λ

magnetischer Leitwert

-

Vs

A

Θ

elektrische Durchflutung

Ampere

A

Konstanten

elektrische Feldkonstante ε 0 = 8,854 187 817 ⋅ 10−12 As Vm

Elementarladung e = 1,602 177 33 ⋅ 10−19 As magnetische Feldkonstante µ 0 = 4 π ⋅ 10−7 Vs Am

Ohmisches Gesetz:

R = UI

[ Ω]

(I-1)

Spezifischer Widerstand p: p = RA

[Ω m 2 m]

(I-2)

l

I Grundlagen

3

Für die Kugel* gilt:

R = p ( 1 − 1 )

r

r

[ Ω]

(I-3)

4 π

i

a

ra

r i

Für den Zylinder* gilt:

R = p lnra

r

[ Ω]

(I-4)

2 πl

i

ra

r i

(* Herleitung mit Hilfe des elektrischen Strömungsfeldes) Leitfähigkeit κ:

κ = 1

[ 1 ] [ S]

p

Ω

m

(I-5)

m

Widerstands-

Rt 2 = Rt 1 [1 + α 1 ( t 2 − t 1) + α 2 ( t 2 − t 1)2]

[Ω]

(I-6)

Temperaturkoeffizient α i: Rti : Widerstand bei Temperatur ti in [K]

t1 : Ausgangstemperatur

t2 : Endtemperatur

Ladung Q:

Q = ∫ idt

[ As]

(I-7)

Couloumbgesetz:

→

F = 1 ⋅ qQ

[ VAs] [

4

m

N]

(I-8)

πε

r 2

wobei E = 1 ⋅ q in [ V ]

m , siehe auch Kap. III

(I-9)

4 πε

r 2

Spannung U:

→ →

U = ∫ Eds

[V]

(I-10)

Elektrischer Fluss ψ: ψ = Q

[C]

[As]

(I-11)

I Grundlagen

4

Elektrische Flussdichte D:

→ →

Q =

DdA

(D ⊥ A)

(I-12)

A: Querschnittsfläche

→

→

D = εE

[ As]

(I-13)

m 2

Kapazität C:

C = εA

[ As] [ F]

V

(I-14)

d

ε: Permittivität, siehe (III-3) Energie W:

W = U It

[VAs] [J] [Ws] [Nm] [ kgm²]

(I-15)

s 2

W = 12 CU 2

(I-16)

(Energie des elektrischen Feldes, siehe auch Kap. III) W = QU

(I-17)

Elektrische Stromdichte J:

→ →

I = ∫ JdA

(J ⊥ A)

(I-18)

A: Querschnittsfläche

→

→

E = pJ

[ V]

m

(I-19)

p : spezifischer Widerstand

→

→

J = κE

[ A ]

(I-20)

m 2

κ : Leitfähigkeit

Dipolmoment m:

→

→

→

→

→

M = m × E

( m = Qd)

(I-21)

Wirkungsgrad η:

η = Pab

P

(I-22)

zu

I Grundlagen

5

II Netzwerkberechnung

Die hier aufgeführten Regeln gelten für Gleich- sowie Wechselstrom (komplexe Rechnung), soweit nicht anders angegeben.

Bezugssystem:

I

U

Für die Richtungsangabe von Strom und Spannung verwendet man Bezugspfeile. Fließt der Strom tatsächlich in die Richtung, in welche der Pfeil zeigt, ist der Strom positiv, sonst negativ.

Das Gleiche gilt für die Spannung.

Knotensatz:

∑ I

= ∑

zu

Iab

(II-1)

Die Summe der zufließenden Ströme muss gleich der Summe der abfließenden Ströme sein.

Beispiel:

I

I

zu4

zu3

I

I

ab2

zu2

Iab1

Izu1

I zu 1 + I zu 2 + I zu 3 + I zu 4 = I ab 1 + Iab 2

Maschensatz:

∑ n

= 0

k = 1 U k

(ΙΙ−2)

Die Summe aller in einer Masche auftretenden Spannungen ist (unter Beachtung ihrer Orientierung) gleich null.

Beispiel:

R1

U1

U

U2

R2

U 1 + U 2 = U

Ersatzwiderstand Rges: Der tatsächliche Strömungswiderstand wird durch die Spannung U gekennzeichnet. Der Widerstandswert gibt die R

II Netzwerkberechnung

6

Eigenschaft eines (oder mehrerer) Bauteils (Bauteile) an, bei einem bestimmten Strom I jeweils eine dazu proportionale Spannung U zu erwirken.

Nur ein Widerstand, durch den ein Strom fließt, wirkt.

Beispiel:

R

I

1

R3

A

U1

U3

U

U2

R

U

2

23

B

Solange die Punkte A und B nicht miteinander verbunden sind, kann durch R 3 kein Strom fließen. Folglich ist die Spannung U 3 =

, da das Bauteil nicht wirken kann. Für die Spannung 0

U zwischen den Anschlusspunkten 23

und

A

gilt somit:

B

U 23 = U 2.

Für den Ersatzwiderstand Rges einer Reihenschaltung von n Widerständen gilt:

R = R +

+ ... +

= ∑ n

[Ω]

1

R2

Rn

k = 1 Rk

(II-3)

I

I

I

R1

R2

Bild: Reihenschaltung von Widerständen Eine Reihenschaltung von Widerständen erkennt man daran, dass durch jeden Widerstand der gleiche Strom fließt.

Für den Ersatzwiderstand Rges einer Parallelschaltung von n Widerständen gilt:

1

= 1 + 1 + ... + 1

R

R

R

R

(II-4)

ges

1

2

n

bzw. mit G = 1 R:

G

= ∑ n

ges

k = 1 Gk

(II-5)

II Netzwerkberechnung

7

R

U

1

R2

Bild: Parallelschaltung von Widerständen Eine Parallelschaltung von Widerständen erkennt man daran, dass an jedem Widerstand die gleiche Spannung (bezogen auf den gleichen Knotenpunkt) anliegt.

Ersatzkapazität Cges: Für die Ersatzkapazität Cges einer Reihenschaltung von n Kondensatoren gilt:

1

= 1 + 1 + ... + 1

(II-6)

Cges

C 1

C 2

Cn

U1

U2

+

-

+

-

C

C

1

2

Bild: Reihenschaltung von Kondensatoren Für die Ersatzkapazität Cges einer Parallelschaltung von n Kondensatoren gilt:

C

=

[

ges

C 1 + C 2 + ... + Cn As]

[ C]

(II-7)

U

+

-

C1

+

-

C 2

Bild: Parallelschaltung von Kondensatoren Wirken mehrere Kapazitäten als Wechselstromwiderstände, kann an ihrer Stelle ihre Ersatzkapazität verwendet werden.

Ersatzinduktivität Lges:

Für die Ersatzinduktivität Lges von n in Reihe geschalteten Spulen gilt:

L

=

ges

L 1 + L 2 + L 3 + ... + Ln (II-8)

II Netzwerkberechnung

8

Für die Ersatzinduktivität Lges von n parallel geschalteten Spulen gilt:

1

= 1 + 1 + ... + 1

L

L

L

L

(II-9)

Ges

1

2

n

Spannungsteilerregel:

U 1 = R 1

(ΙΙ−10)

U 2

R 2

Stromteilerregel:

I 1 = R 2

I

R

(II-11)

2

1

Leistungsteilerregel:

P 1 = R 1

P

R

(II-12)

2

2

Dreieck-Stern-Umwandlung:

R2

R12

R23

R1

R3

R31

R 1 =

R 12 ⋅ R 31

R

R 12 + R 23 + R 31

12 = R 1 + R 2 + R 1 ⋅ R 2

R 3

R 2 =

R 23 ⋅ R 12

R

R

12 + R 23 + R 31

23 = R 2 + R 3 + R 2 ⋅ R 3

R 1

R 3 =

R 31 ⋅ R 23

R

R

12 + R 23 + R 31

31 = R 3 + R 1 + R 3 ⋅ R 1

R 2

(II-13)

Leistungsanpassung:

Für Gleichstrom gilt: R =

a

R i

(II-14)

I

Ri

Uq

U

Ra

Bild: Zur Leistungsanpassung

Für Wechselstrom gilt: Z

∗



=

a

Z

 i

(II-15)

II Netzwerkberechnung

9

( Z∗

 i : konjungiert komplex) Ideale Spannungsquelle:

Bei einer idealen Spannungsquelle ist der Innenwiderstand R =

i

0

Dieser Zusammenhang findet sich auch im Schaltungssymbol wieder (durchgehende Linie):

Bild: ideale Spannungsquelle

Ideale Stromquelle:

Bei einer idealen Stromquelle ist der Innenwiderstand R → ∞

i

Dieser Zusammenhang findet sich auch im Schaltungssymbol wieder (unterbrochene Linie, d. h. dass kein Strom durch die Quelle, sondern nur aus ihr heraus- oder in sie hineinfließen kann):

Bild: ideale Stromquelle

Reale Spannungsquelle:

U = U −

q

IR i

(II-16)

U q: Leerlauf-, Quellenspannung U : Klemmenspannung

R i: Innenwiderstand

R : Belastungs-, Verbraucherwiderstand a

I: Belastungsstrom

I

Ri

U

U

q

Ra

II Netzwerkberechnung

10

Reale Stromquelle

Für den Quellenstrom I q gilt (durch Kurzschluss von realer Spannungsquelle und realer Stromquelle und Gleichsetzen): I = U q

q

R

(II-17)

i

Für den Innenleitwert G i gilt: G = I q = 1

i

U

R

(II-18)

q

i

I

I

q

U

R

i

a

G

Ersatzspannungsquelle:

Die Quellenspannung Uq einer Ersatzspannungsquelle ist gleich der im Leerlauf zwischen den Klemmen des gegebenen Zweipols vorhandenen Spannung U′.

U

=

q

U ′

(II-19)

Der Innenwiderstand R i ist gleich dem zwischen den Klemmen des betreffenden Zweipols bestehenden Widerstand, wobei alle internen Spannungsquellen kurzgeschlossen und alle internen Stromquellen getrennt werden müssen. Ri ist (bezüglich Stromfluss) von U′ aus gesehen zu berechnen.

R1

Ri

U

U

R

q

2

U'

Überlagerungsverfahren*:

Man erhält die Zweigströme eines Netzwerkes dadurch, dass man die von den einzelnen Spannungs- oder Stromquellen verursachten Teilströme richtungsrichtig (unter Beachtung des Vorzeichens) addiert.

(* basiert auf dem Überlagerungsgesetz) (II-20)

Für die Ermittlung der Teilströme (einer einzigen Quelle) sind alle nicht betrachteten

• Spannungsquellen Uq kurzzuschließen

II Netzwerkberechnung

11

• Stromquellen Iq aufzutrennen

Maschenstromverfahren

Es wird das folgende Gleichungssystem verwendet:

 R 11 R 12 R 13 ... R 1 n   I 1 

 U 1 



  





 R 21 R 22 R 23 ... R 2 n  ⋅  I 2 =  U 2

(II-21)



  





.

...

... ...

...

...

...



  





 R m 1 R m 2 R m 3 ... R mn   Im

 U m

(Einheit: [Ω ⋅ A] = V)

Vorgehensweise:

• Maschenströme eintragen (Anzahl der Maschenströme gleich der Anzahl der vorhandenen Maschen). Dabei müssen jene Ströme gewählt werden, die nicht durch die gemeinsamen Zweige fließen.

• Die Summe aller Widerstände einer Masche tritt als Koeffizient für den zugehörigen (noch unbekannten) Maschenstrom auf.

• Die Koeffizienten für die anderen Maschenströme sind die Kopplungswiderstände. Ihr Vorzeichen ist positiv, wenn die Maschenströme in den betreffenden Kopplungswiderständen den gleichen Bezugssinn haben, sonst negativ.

• Rechts des Gleichungssystems steht die Summe der Quellenspannungen, die in der betreffenden Masche auftreten. Vorzeichenregel: Stimmt ihr Richtungssinn mit der Richtung des Maschenstromes überein, erhält jede Quellenspannung hierbei ein Minuszeichen.

Andernfalls ein Pluszeichen.

Die Kopplungswiderstände liegen stets symmetrisch zur Hauptdiagonalen der Widerstandsmatrix.

Knotenpotenzial-Verfahren

Das Knotenpotenzial-Verfahren ist von Vorteil, wenn das Netzwerk nur über wenige Knotenpunkte - bei relativ vielen Maschen - verfügt.

Es wird das folgende Gleichungssystem verwendet:



G 11 − G 12 − G 13 ... − G 1

I

n 

 U 10 

 q 1



 





 − G 21

G 22 − G 23 ... − G 2 n 

I

⋅  U 20  =  q 2

(II-22)



 



.

...

... ...

...

...

 ...



 





 − G m 1 − G m 2 − G m 3 ...

G mn   Um 0

 I qm

(Einheit: [ S ⋅ V] =

)

A

II Netzwerkberechnung

12

Vorgehensweise:

• Alle (möglichen) Spannungsquellen in

Ersatzstromquellen umwandeln.

• Ideale (nicht wandelbare) bekannte Spannungsquellen können u. U. zusammen mit den Leitwerten auf die rechte Seite des Gleichungssystem gebracht werden. Dadurch vereinfacht sich das Gleichungssystem erheblich.

• Einen Knotenpunkt als Bezugsknoten wählen ( ϕ = ).

0

• Knotenspannungen einzeichnen. Pfeile zeigen auf Bezugsknoten.

• Knotenleitwerte treten als Koeffizienten bei der zugehörigen Knotenspannung auf.

• Kopplungswerte treten als Koeffizienten bei den anderen Knotenspannungen auf (Vorzeichen immer negativ).

• Rechts der Gleichung stehen die bereits bekannten Quellenströme. Vorzeichen ist positiv, wenn die Pfeilrichtung des Stromes auf den Knotenpunkt zeigt; sonst negativ.

II Netzwerkberechnung

13

III Elektrisches Feld

Elektrische Feldstärke E:

→

→

F = QE

(III-1)

E = U = vB

[ V]

m

(III-2)

d

d: Abstand, B: magnetische Feldstärke

Permittivität ε:

ε = ε

[ AsVm]

rε 0

(III-3)

ε 0 : elektrische Feldkonstante ε 0 = 8,854 187 817⋅10-12 As Vm

ε r : Permittivitätszahl (dimensionsloser Faktor) Dielektrikum:

Nichtleitende Materie, die von einem elektrischen Feld durchsetzt wird, bezeichnet man als Dielektrikum. Das Dielektrikum wird im elektrischen Feld durch die Permittivitätszahl εr (dimensionsloser werkstoffabhängiger Faktor) berücksichtigt.

Kapazität C:

C = Q

[ As]

U

[F]

V

(III-4)

Ladestrom i:

i = Cdu

[A]

(III-5)

dt

Der Ladestrom i ist zeitlich veränderlich.

An einer Kapazität C kann die Spannung u nicht springen; der Strom i hingegen schon: C bremst Spannung. Die Kapazität C

wirkt als Energiespeicher.

Energiedichte w:

w = 1

] [ J ]

(III-6)

2 εE 2

[ VAs

m 3

m 3

w = 1 ⋅ D 2

(III-7)

2

ε

Energie W:

W = 1

[ kgm²]

2 CU 2

[VAs] [J] [Ws] [Nm]

(III-8)

s 2

W = 1 ⋅ Q 2 mit U = Q

(III-9)

2

C

C

Plattenkondensator

III Elektrisches Feld

14

d

Für die Oberfläche einer Platte gilt:

A = ab

[ m 2]

(III-10)

Kraft F*:

F = 1

U 2 C

[N]

(III-11)

2 EDA = 12 d

* Kraft zwischen den Elektroden

Elektrische Flussdichte D:

D = Q

[ As]

A

(III-12)

m 2

Elektrische Feldstärke E:

E = U

[ V]

m

(III-13)

d

d : Plattenabstand

Kapazität C:

C = εA

[ As] [

V

F]

(III-14)

d

ε: Permittivität, siehe (III-3) Kugel

ra

r i

r (beliebig)

Für die Oberfläche einer Kugel gilt:

A = 4 πr 2

[ m 2]

(III-15)

Elektrische Flussdichte D:

D =

Q

[ As]

(III-16)

4 πr 2

m 2

Elektrische Feldstärke E:

E =

Q

[ V]

m

(III-17)

4 πεr 2

Elektrisches Potential ϕ:

→ →

ϕ = ∫∞

= Q

[

r Edx

4

V ]

(III-18)

πεr

III Elektrisches Feld

15

Kapazität C:

C = 4 πε rira

[ As] [

r

V

F]

(III-19)

a − ri

Langer, gerader Zylinder

ra

r i

r (beliebig)

Für die Oberfläche gilt:

A = 2 πrl

[ m 2]

(III-20)

Elektrische Flussdichte D:

D =

Q

[ As]

(III-21)

2 πrl

m 2

Elektrische Feldstärke E:

E =

Q

[ V]

m

(III-22)

2 πεrl

Potential ϕ:

ϕ = ∫ ra

[

r Edr =

Q lnrar

V ]

(III-23)

i

2 πεl

i

Kapazität C:

C = 2 πεl

[ As] [ F]

ra

V

(III-24)

ln ri

III Elektrisches Feld

16

IV Magnetisches Feld

Allgemeines:

Die Grundlagen des Magnetismuses beschreibt das von Ampere stammende Durchflutungsgesetz. Es besagt, dass jede gleichmäßig bewegte Ladung (Strom) in einem umliegenden Raumpunkt eine bestimmte magnetische Feldstärke erzeugt.

Das magnetische Feld beschreibt die Wechsel- oder Kraftwirkung von zwei gleichmäßig bewegten elektrischen Feldern und ist auf diese zurückführbar. Eigentlich handelt es sich um eine Hilfskonstruktion, mit der man die Wechselwirkung von elektrischen Feldern beschreiben kann.

Erweitert wurde das Durchflutungsgesetz durch die Maxwellschen Gleichungen. Im Prinzip besagen diese, dass nicht nur bewegte elektrische Ladungen (Strom) eine magnetische Feldstärke erzeugen, sondern auch deren zeitliche Veränderung (Verstärkung oder Abschwächung der Ladung).

Bei der Vorstellung vom magnetischen Feld handelt es sich um eine Abstraktion. Magnetische Felder werden durch sich bewegende elektrische Felder verursacht. Daraus resultiert:

• dass magnetische Feldlinien stets geschlossen sein müssen, also weder Anfang noch Ende besitzen.

• dass es keine magnetischen Monopole1 gibt (da das Phänomen tatsächlich durch bewegte elektrische Felder verursacht wird).

• dass Elektronen in einem Magnetfeld zwar eine Ablenkung, aber keine Geschwindigkeitsänderung erfahren.

1 bei einem Monopol würde es sich hier um einen allein auftretenden magnetischen Süd- oder Nordpol handeln.

Magnetische Feldstärke H: H = IN =

I

[ A]

m

(IV-1)

l

2 πr

IV Magnetisches Feld

17

magnetischer Nordpol

magnetisches Feld

I

H

I

H

magnetischer Südpol

Bild: Zur Definition der magnetischen Feldstärke H. Links ist das Magnetfeld eines vom Strom durchflossenen, geraden Leiters dargestellt. Rechts sieht man das Magnetfeld eines Ringstromes, wie er etwa in Dauermagneten (Stichworte: Elektronengas, Metallbindung) oder im Erdinneren vorkommt.

(Vergleiche auch das Magnetfeld einer langgestreckten Feldspule.)

Magnetische Flussdichte B: B = F = µH

[ Vs] [ T]

(IV-2)

Il

m 2

Die magnetische Flussdichte berücksichtigt die B

Materialeigenschaften des durchströmten Raumes und gibt somit Auskunft über die Stärke des magnetischen Feldes.

Permeabilität µ:

µ = µ

[ Vs]

rµ 0

(IV-3)

Am

µ 0 : magnetische Feldkonstante µ 0 = 4 π ⋅ 10−7 Vs

Am

Magnetischer Fluss Φ:

→ →

Φ =

[

A BdA

V s]

[ W]

(IV-4)

Verkettungsfluss Ψ:

Ψ = ∑ n

[

m

i = 1 Φ

V s]

(IV-5)

i

Ψ

=

m

NΦ = IL

(IV-6)

Gesetz von Biot-Savart:

→

→

→

H = I

dL × r

[ A]

m

(IV-7)

4 π

L

r 3

dH = Isin α

4 πr 2 ds

IV Magnetisches Feld

18

→ →

I = A sdA

Magnetfeld im Zentrum:

H = I

[ A]

m

(IV-8)

2 r

Elektrische Durchflutung Θ:



Θ = ∑ n

[

i = 1 IiNi

A]

(IV-9)

: Anzahl der Ströme. Für

n

n→∞ muss über die Fläche A

integriert werden.

Durchflutungsgesetz:

→  = Θ

s Hds

[A]

(IV-10)

Ohmisches Gesetz des

Θ = Φ Rm

[A]

(IV-11)

magnetischen Kreises:

Magnetischer Widerstand Rm: R = l

[ A ]

m

Vs

(IV-12)

µA

Magnetischer Leitwert Λ: Λ = µA

[ Vs]

(IV-13)

l

A

Magnetische Spannung Vm: V

=

m

Hs

[A]

(IV-14)

s: Weg

Energiedichte w:

w = W = ∫ B 1

] [ J ]

V

0 HdB

[ VAs

(IV-15)

m 3

m 3

V: Volumen

Für konstante Permeabilität ( B = µ 0 H) gilt: w = B 2 dB = 1 µ

] [ J ]

0 H 2 = 1 HB

[ VAs

(IV-16)

2 µ 0

2

2

m 3

m 3

Im Magnetfeld gespeicherte

W = ∫ V wdV

[ VAs] [ J]

(IV-17)

Energie W:

Für eine Spule mit der (konstanten) Induktivität L gilt: 2

2

W = 1

= 1Ψ

⋅ Ψ m

[

m I = 1

V As] [ J]

L

(IV-18)

2 LI

2

2

Kraft an Grenzflächen:

F = B 2 ⋅ A =

Φ 2

[ N]

(IV-19)

2 µ 0

2 µ 0 A

IV Magnetisches Feld

19

(gilt nur für 1 Seite der Grenzflächen, siehe Bild) Φ

Y

Y

Α

F

Ι

Φ

l

IV Magnetisches Feld

20

5. Elektromagnetische Induktion

Allgemeines:

Die Induktionsquellenspannung und auch die Induktionsstromstärke sind im allgemeinen, d. h. bei nichtlinearen Änderungen des magnetischen Flusses, ebenfalls zeitlich veränderlich.

Bewegter Leiter im

U = Blv

[ V]

(V-1)

Magnetfeld:

Stromführender Leiter im

→

→

→

F = I ( l × B)

[ N]

(V-2)

Magnetfeld:

F = BlIsin α

[ N]

(V-3)

Kraft zwischen 2

F = µI 1 I 2 l

[ N]

(V-4)

stromführenden Leitern:

2 πr

-F

-F

+F

1

+I

+I2

H

1

-I

H

H

+I2

H r

r

Bild 5.1: Die Richtung der Kraftwirkung wird durch das Vorzeichen der Ströme berücksichtigt.

Bewegte Ladung im

→

→

F =

× ) =

L

q ( v

B

qvBsin α

[ N]

(V-5)

Magnetfeld (Lorenzkraft):

Es gelten:

• die rechte Hand-Regel für positive Ladungsträger

• die linke Hand-Regel für negative Ladungsträger ( v: Daumen, : Zeigerfinger,

B

F : Mittelfinger)

L

Hallspannung U :

H

U

=

= AHIB [

H

Eb = vBb = IB

V ]

(V-6)

end

d

→

→

→

→

(Voraussetzung: B ⊥ I bzw. B ⊥ v ) v: mittlere Geschwindigkeit der Elektronen Elementarladung e: e = 1,602 176 53 ⋅ 10−19 As Ladungsträgerdichte n: materialabhängig 1

A

=

H

nq

ist dabei die Hall-Konstante AH. Sie charakterisiert die Stärke 5. Elektromagnetische Induktion

21

des Hall-Effektes.

d

I

+ v

-

H

F

+

-

+

B

-

+

-

b

UH

+

-

Bild 5.2: Zur Hallspannung ( UH und F sind hier für negative Ladungsträger angegeben.)

Die im Plättchen normalerweise gleichmäßig verteilten Elektronen des Stromes I werden durch das Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte

B seitlich abgedrängt, so dass die Spannung UH entsteht.

In Bild 5.2 sind UH und F für negative Ladungsträger angegeben. Falls sich positive Ladungsträger bewegen (z. B.

Löcher in p-dotiertem Halbleitermaterial), bewegen sich diese in umgekehrter Richtung. Sie werden durch das Magnetfeld zur gleichen Seite hin abgelenkt wie negative Ladungsträger; dadurch kehrt sich aber das Vorzeichen von UH oder die Orientierung des zugehörigen Zählpfeiles um.

d

I

- vH F +

-

+

-

B

+

-

+

b

UH

-

+

Bild 5.3: Zur Hallspannung ( UH und F sind hier für positive Ladungsträger angegeben.)

Der Hall-Effekt hängt stark von der (vorzeichenbehafteten) Ladungsträgerdichte ab, weil die geringere Anzahl von n

Ladungsträgern bei gleicher Stromstärke eine höhere Geschwindigkeit der Einzelladungen zur Folge hat.

Da die Ladungsträgerdichte n bei Halbleitern wesentlich geringer als bei Metallen ist, benutzt man vorwiegend Halbleiter als Hall-Sonden.

5. Elektromagnetische Induktion

22

Elektrische Feldstärke :

E

E = vB

[ V]

m

(V-7)

v: mittlere Geschwindigkeit der Elektronen Mittlere Geschwindigkeit v der v =

I

[ m] s

(V-8)

enA

Elektronen:

A: Leiterquerschnitt ( A = bd) Induktionsgesetz:

U = −

[

i

NdΦ( t)

V ]

(V-9)

dt

U

= −

L

U i

UL: Spannung im Verbrauchersystem Ui: Spannung im Erzeugersystem

Verbrauchersystem

Erzeugersystem

Φ

H

-

H

Vm

+

-

+

+

U0

U U

L

i

-

+

-

i

Gegenfeld

H

Flusszunahme ( Φ > 0)

Verbrauchersystem

Erzeugersystem

Φ

H

+

H

Vm

-

+

+

-

U0

U U

L

i

-

-

+

i

Gegenfeld

H

Flussabnahme ( Φ < 0)

Lenz'sche Regel: Der durch Induktion hervorgerufene Strom ist so gerichtet, dass sein Magnetfeld dem induzierenden entgegenwirkt.

5. Elektromagnetische Induktion

23

Die Spannung Ui ist bei zunehmenden magnetischen Fluss (+ Φ) negativ und bei abnehmenden Fluss (- Φ) positiv.

Das Vorzeichen der Induktionsspannung Ui bezieht sich dabei auf eine andere im Stromkreis bereits bestehende Spannung U 0

(Verbrauchersystem).

Induktivität :

L

Für eine langgestreckte Zylinderspule gilt: L = N 2 µA = N 2Λ = N 2 1

[ Vs] [

R

; H]

(V-10)

l

m

A

l: Spulenlänge

A: Spulenquerschnitt

Für die an der Spule anliegende Selbstinduktionsspannung Uis gilt: U

= −

is

Ldi( t)

(V-11)

dt

An einer Induktivität kann der Strom

L

i nicht springen; die

Spannung u hingegen schon. Die Induktivität wirkt als L

Energiespeicher.

Zum Vorzeichen: Der Strom, welcher durch das Zusammenbrechen eines Magnetfeldes verursacht wird, ist jenem Strom entgegengerichtet, der das Magnetfeld in der Spule aufgebaut hat (vgl. Lenz'sche Regel).

Rechtschraubregel: Dreht man eine rechtsgängige Schraube in Richtung des Stromes, der durch die Windungen der Spule fließt, so bewegt sie sich auf den Nordpol des Magnetfeldes zu.

Gegenseitige Induktion:

Für 2 magnetisch ideal gekoppelte Spulen gilt: L

µA

[ Vs]

12 = N 1 N 2

; [ H]

(V-12)

l

A

5. Elektromagnetische Induktion

24

VI Wechselstromkreise

Allgemeine Hinweise:

• Sind Strom i und Spannung u zeitlich veränderlich, werden beide durch kleine Buchstaben dargestellt.

• Die hier aufgestellten Regeln gelten (falls nichts anderes angegeben) ausschließlich für sinusförmige Ströme und Spannungen.

• Nicht-sinusförmige Ströme oder Spannungen können mit Hilfe der Fourier-Analyse in Summen von sinusförmigen Größen zerlegt werden, so dass die hier beschriebenen Rechnungsverfahren auf die einzelnen Glieder dieser Zerlegung angewandt werden können. Siehe hierzu auch Kapitel ›IX

Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.

Strom i:

i = î sin ( ωt + ϕ )

[

i

A]

(VI-1)

Darstellung des Stromes I als "rotierender" Zeiger: I = Iej( ωt + ϕi)

[ A]

(VI-2)

I: Effektivwert des Stromes

Spannung u:

u = û sin ( ωt + ϕ )

[

u

V ]

(VI-3)

Darstellung der Spannung U als "rotierender" Zeiger: U

 = U ej( ωt + ϕu)

[ V]

(VI-4)

U: Effektivwert der Spannung

Periodendauer T:

T = 2 π

[ s]

(VI-5)

ω

Frequenz f:

f = 1 = ω

[ Hz] [1]

T

s

(VI-6)

2 π

Kreisfrequenz :

ω

ω = 2 πf = 2 π

[1]

T

s

(VI-7)

Gleichrichtwerte:

|

^

i|

 = 2 ⋅ i

[ A]

(VI-8)

π

| u|

 = 2 ⋅ u^

[ V]

(VI-9)

π

Bedeutung: zeitlicher Mittelwert des Betrages einer Funktion.

VI Wechselstromkreise

25

Für die Gleichrichtwerte von allgemeinen, auch nicht-sinusförmigen periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX

Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.

Effektivwerte:

^

I = i

[ A]

(VI-10)

2

U = u^

[ V]

(VI-11)

2

Bedeutung: Der periodisch zeitabhängige Strom i erzeugt im Mittel die gleiche Wärmeleistung wie der Gleichstrom I.

Für die Effektivwerte von allgemeinen, auch nicht-sinusförmigen periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX

Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.

Formfaktor :

F

F = 1,111

(VI-12)

Der Formfaktor F bezeichnet bei Wechselgrößen das Verhältnis des Effektivwertes zum Gleichrichtwert. Er gilt für Ströme sowie Spannungen gleichermaßen.

Für die Berechnung des Formfaktors von allgemeinen, auch nicht-sinusförmigen periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX

Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.

Scheitelfaktor σ:

σ =

2

(VI-13)

Das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert heißt Scheitelfaktor. Er gilt für Spannungen sowie Ströme gleichermaßen.

Für die Berechnung des Scheitelfaktors von allgemeinen, auch nicht-sinusförmigen periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX

Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.

Komplexe Widerstände

Impedanz Z:

Z

 = R + jX

[ Ω]

(VI-14)

R: Wirkwiderstand

X: Blindwiderstand

auch: Z

 = U



= 1

I

Y



VI Wechselstromkreise

26

Admittanz Y:

Y

 = G + jB

[ S]

(VI-15)

G: Wirkleitwert

B: Blindleitwert

auch: Y

 = I

= 1

U



Z



Ohmischer Widerstand:

R = U

[Ω]

I

(VI-16)

Ohmischer Widerstand R

auch Wirkwiderstand, Resistanz

G = 1 = I

[

R

U

S]

(VI-17)

Ohmischer Leitwert

auch Wirkleitwert, Konduktanz

ϕ = ϕ −

u

ϕi = 0Ů und I sind in Phase (frequenzunabhängig) Spule:

X

=

L

ωL

[Ω]

(VI-18)

Blindwiderstand

(auch Reaktanz, induktiver Blindwiderstand) B = − 1

[

L

S]

(VI-19)

ωL

Blindleitwert

(auch Suszeptanz, induktiver Blindleitwert) ϕ = ϕ −

u

ϕi = 0° − 90° = −90°

(U eilt I um 90° voraus)

Kondensator:

X

= − 1

[Ω]

C

(VI-20)

ωC

Blindwiderstand

(auch Reaktanz, kapazitiver Blindwiderstand) B

=

C

ωC

[ S]

(VI-21)

Blindleitwert

(auch Suszeptanz oder kapazitiver Blindleitwert) VI Wechselstromkreise

27

ϕ = ϕ −

u

ϕi = 0° − (−90°) = +90°

(U eilt I um 90° nach)

Reflexionskoeffizient Γ: Der Reflexionskoeffizient Γ gibt an, wie ein Signal am Ende einer Leitung reflektiert wird, d. h. mit welcher Phase und Amplitude es zurückläuft.

Γ

 = Ur



[ einheitenlos]

(VI-22)

U 0



U r: reflektierte Amplitude

[V]



U 0: hinlaufende Amplitude

[V]



(Größen sind komplex, d. h. haben Betrag und Phase.) Γ = Zx − R 0

Z

[ einheitenlos]

(VI-23)

x + R 0

ZX: Abschlussimpedanz

R 0: Wellenwiderstand der Leitung Γ = z x − 1

[ einheitenlos]

(VI-24)

z x + 1

mit der normierten Impedanz z = Zx x

R .

0

Z =

x

R 0 ⋅ 1 + Γ

(VI-25)

1 − Γ

[Ω]

Γ kann nicht größer als | 1 | sein, da das hinlaufende Signal U 0



nur abgeschwächt, aber niemals verstärkt werden kann.

Spezialfälle:

Z =

x

Leitungsende

Γ =

R 0

angepasst

0

∞

offen

1

0

Kurzschluss

-1

Smith-Diagramm:

Für die Darstellung von Frequenzgängen verwendet man das Smith-Diagramm.

VI Wechselstromkreise

28

+j ∞

f → ∞ Hz

j

j

1

+j ∞

0

f = 0 Hz

∞ 0

∞

1

-j ∞

-j

-j

Z

 ( ω) = R + jωL

-j ∞

Das Smith-Diagramm bildet die rechte Seite der komplexen Ebene in einem Kreis wieder ab. Dazu nimmt man die beiden Endpunkte der Imaginär-Achse, die ins Unendliche führen, und biegt sie so um, dass sie mit dem Unendlichkeits-Ende der reellen Achse zusammenfallen. Die zur imaginären Achse parallel liegenden und senkrecht stehenden Koordinatenlinien finden sich im Smith-Diagramm als geschlossene Kreise wieder, von denen jeweils ein Punkt stets im

"Unendlichkeitspunkt" des Diagrammes liegt.

Die Skaleneinteilung des Smith-Diagrammes ist nicht mehr linear und einheitenlos. Frequenzgänge müssen daher durch einen geeigneten Bezugswiderstand dividiert werden (üblich sind 50 ).

Ω

Leistung

Scheinleistung S:

S

∗

 = U I = U

 I

= P + jQ

(VI-26)

Achtung: U ∗

∗

 I , d. h. I ist konjungiert komplex (Vorzeichenumkehr des Imaginärteils).

S =

P 2 + Q 2

[ VA]

(VI-27)

P: Wirkleistung

Q: Blindleistung

Wirkleistung P:

P = U Icos ( ϕ) = Scos ( ϕ)

[ W]

(VI-28)

Blindleistung Q:

Q = U Isin ( ϕ) = Ssin ( ϕ)

[ var]

(VI-29)

VI Wechselstromkreise

29

α

Bild: Der Zusammenhang zwischen Wirkleistung P, Blindleistung Q und Scheinleistung S in der komplexen Ebene.

Phasenverschiebungswinkel ϕ:

ϕ = ϕ −

u

ϕi

(VI-30)

Leistungsfaktor:

cos ( ϕ) = P

(VI-31)

S

Blindfaktor:

sin ( ϕ) = Q

(VI-32)

S

Wirkleistungsanpassung:

Z

∗



=

a

Z

 i

(VI-33)

Resonanzbedingung:

Im ( Z

) = 0

(VI-34)

VI Wechselstromkreise

30

VII Drehstrom

Allgemeines

• basiert auf sinusförmigen Wechselstrom

• besteht aus 3 Strängen

• Außenleiterspannung ist die Spannung zwischen verschiedenen Strängen.

• Strangspannung ist die erzeugte Spannung auf einem Strang.

• Die erzeugten Spannungen sind um je 120°

zueinander verschoben.

• Die Außenleiterspannungen eilen den Strangspannungen um 30° vor.

L2

L1

U1

L3

Bild: Funktionsprinzip des Drehstromgenerators. Die einzelnen Stränge (Sternschaltung) sind farbig markiert.

Sternschaltung:

1

L1

U12

U

U

U

1

2

31

2

L2

U23

U3

L3

3

N

Bild: Sternschaltung (hier: eines Drehstrom-Generators).

U

1, U

2, U

 sind

3

Strangspannungen. U

12, U

 und

23

U

31 sind

Außenleiterspannungen.

VII Drehstrom

31

L1

1

U12

U31

U2

U

2

1

L2

U23

U3

L3

3

N

Bild: Sternschaltung (hier: eines Verbrauchers). U

1, U

2, U

3

sind Strangspannungen. U

12, U

 und

23

U

31 sind

Außenleiterspannungen.

• Dreileiter- (ohne Neutralleiter) oder Vierleitersystem (mit N)

Außenleiterspannung:

U =

3 ⋅ U

[

St

V ]

(VII-1)

Die Außenleiterspannungen | U|

|

|

|



= | U

12

= | U

= | U

23

31

eilen den mit ihnen verknüpften Strangspannungen

| U |

|

|

|



= |

= |

= |

St

U

1

U

2

U

3 um jeweils 30 ° vor.

Neutralleiter:

U



= U1 Y1 + U2 Y2 + U3 Y3

[

N

V ]

(VII-2)

(nicht angeschlossen)

Y

1 + Y

2 + Y

3

Bei symmetrischer Belastung ( Z

1 = Z

2 = Z

 ) wird

3

U



=

N

.

0

Strom I:

Bei symmetrischer Belastung und ohne angeschlossenen Neutralleiter gilt:

I = USt =

U

[

Z

A]

(VII-3)

3 ⋅ Z

Dreieckschaltung:

1

L1

U12

2

U

L2

31

U23

L3

3

Bild: Dreiecksschaltung (hier: eines Drehstromgenerators).

VII Drehstrom

32

1

L1

U12

2

L2

U23

U31

L3

3

Bild: Dreiecksschaltung (hier: eines Verbrauchers).

• kein Neutralleiter

Außenleiterspannung:

U = U

[

St

V ]

(VII-4)

Außenleiterspannungen U = U12 = U23 = U31

Strangspannungen USt

Strom I:

Bei symmetrischer Belastung ( Z

1 = Z

2 = Z

 ) gilt:

3

I =

3 ⋅ I

[

St

A]

(VII-5)

Leistung

Der in diesem Abschnitt aufgeführte Strom IStr ist immer der Strangstrom (für Stern- sowie Dreiecksschaltung).

Symmetrische Belastung

Bei symmetrischer Belastung ( Z = Z

2 = Z

 ) gilt für

3

Stern-

1

sowie Dreiecksschaltung gleichermaßen: Die Summe der Augenblicksleistungen der drei Stränge ist zeitlich konstant.

Scheinleistung S:

S =

3 U I

[

Str

V A]

(VII-6)

Wirkleistung P:

P =

3 UIStrcos ϕ

[ W]

(VII-7)

Blindleistung Q:

Q =

3 UIStrsin ϕ

[ var]

(VII-8)

VII Drehstrom

33

α

Bild: Der Zusammenhang zwischen Wirkleistung P, Blindleistung Q und Scheinleistung S in der komplexen Ebene.

Phasenverschiebungswinkel ϕ:

ϕ = ϕ −

u

ϕi

(VII-10)

Leistungsfaktor:

cos ( ϕ) = P

(VII-11)

S

Unsymmetrische Belastung

Bei unsymmetrischer Belastung ( Z ≠ Z

2 ≠ Z

 ) müssen die

1

3

Leistungen jedes einzelnen Verbrauchers addiert werden: p = p 1 + p 2 + p 3

(VII-12)

Die Summe der Augenblicksleistungen der drei Stränge ist zeitlich nicht konstant.

VII Drehstrom

34

VIII Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise Drosselspule mit Eisenkern:

U = 4,44 Nf Φ

^

[ V]

(VIII-1)

Φ^ sinusförmig

U: Effektivwert (∼)

Transformator mit Eisenkern

I

R1

X

R2'

X'

1

1σ

2σ

I 10

I'2

I µ

I Fe

U1

X

R

U'

Z '

h

Fe

2

Bild: Ersatzschaltbild eines Transformators Eisenverluste durch Erwärmung eines vorhandenen Eisenkernes:

Xh: Hauptblindwiderstand (durch Hysterese verluste) RFe: Eisenverlustwiderstand (durch Wirbelstrom verluste) I : Magnetisierungsstrom

µ

IFe: Eisenverluststrom

I 10: Leerlaufstrom

Spulenverluste:

X 1 ,

Φ

σ

X′2 σ: Streublindwiderstände der Spulen (Verlust von m) R 1, R 2: ohmische Wicklungswiderstände Übersetzungsverhältnis ü:

ü = N 1 = U 1 = I 2

N

U

I

(VIII-2)

2

2

1

Ohmischer Wicklungswiderstand R′2 = ü2 R 2

[ Ω]

(VIII-3)

R 2:

Ohmischer Wicklungswiderstand der Spule.

Streublindwiderstand X2 σ: X′2 =

σ

ü2 X 2 σ

[ Ω]

(VIII-4)

Streuverlust: Ein Teil des magnetischen Flusses läuft nicht durch die Spule.

Belastungswiderstand :

Z

′



Z

 = ü2 Z



[ Ω]

(VIII-5)

VIII Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise 35

Sekundärspannung U :

′

2

U

2 = ü U

2

[V]

(VIII-6)

Sekundärstrom I2:

I′2 = 1ü I2

[A]

(VIII-7)

VIII Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise 36

IX Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale Gleichrichtwerte:

| T

i|

 = 1∫ |

T

i | dt

[ A]

(IX-1)

0

|

T

u|



= 1 ∫ |

T

u | dt

[ V]

(IX-2)

0

Bedeutung: zeitlicher Mittelwert des Betrages einer Funktion.

Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI Wechselstromkreise‹.

Effektivwerte:

T

I =

1 ⋅ ∫

T

i 2 dt

[ A]

(IX-3)

0

T

U =

1 ⋅ ∫

T

u 2 dt

[ V]

(IX-4)

0

Bedeutung: Der periodisch zeitabhängige Strom i erzeugt im Mittel die gleiche Wärmeleistung wie der Gleichstrom I.

Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI Wechselstromkreise‹.

Formfaktor:

F = I

(IX-5)

| i|



= U| u|

Der Formfaktor F bezeichnet bei Wechselgrößen das Verhältnis des Effektivwertes zum Gleichrichtwert. Er gilt für Strom sowie Spannung gleichermaßen.

Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI Wechselstromkreise‹.

Scheitelfaktor:

^

σ = i = u^

I

U

(IX-6)

Das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert heißt Scheitelfaktor. Er gilt für Spannung sowie Strom gleichermaßen.

Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI Wechselstromkreise‹.

IX Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale 37

Anhang

Literaturverzeichnis

• Hagmann, Gert: "Grundlagen der Elektrotechnik", ISBN 978-3-89104-730-9, 14.

Auflage, AULA-Verlag, Verlag für Wissenschaft und Forschung, Wiebelsheim, 2009

• Lehmann, Schmidt: "Physik - Gravitations-, elektrisches und magnetisches Feld", ISBN

3-89449-121-3, Stark Verlagsgesellschaft mbH, Freising 2004

• Klein, Martin: "Einführung in die DIN-Normen", ISBN 3-519-16301-2, 12. Auflage, Teubner, Berlin 1997

• Dr. Christian Zentner, Dr. Nora Wiedenmann, Dr. Reinhard Barth: "Zahlen & Formeln", ISBN 3-907200-05-5, Otus Verlag AG, St. Gallen 2006

• Friedrich Tabellenbuch Elektrotechnik / Elektronik, ISBN 978-3-427-53025-1, 583.

Auflage, Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf 2009

Anhang

38